初等関数では解けません
ベッセル関数を使います。


予備知識
Jn(x)を第一種ベッセル関数
Yn(x)を第二種ベッセル関数
とすると、
y"+(1/x)y'+{a²-(n²/x²)}y=0
の一般解は
y=c1Jn(ax)+c2Yn(ax)
です。
これを使います。

まずは、未知関数u(x)を設定して
y=√x•u(x)と変換します。
y'=u'√x+u/(2√x)
y"=u"√x+u'/√x-u/(4x√x)
を代入すると、
u"+u'/x+(4a²x-1)/4x²}•u=0
つぎに
√x=t
とすると、
x=t²
dt/dx=2/t
u'=du/dx
=(du/dt)(dt/dx)
=(2/t)•du/dt

u"=d(du/dt)/dx
=(1/4t²)•du²/dt²-(1/4t^3)•du/dt
を使うと、
u"+(1/t)u'+(4a²-1/t²)u=0
に帰着します。
この一般解は、
u(t)=c1J1(2at)+c2Y1(2at)
です。

t=√x
に戻して、
u(√x)=c1J1(2a√x)+c2Y1(2a√x)
よって、
y=√x・{c1J1(2a√x)+c2Y1(2a√x)}